\subsection{平行线的性质}\label{subsec:czjh1-2-7}

上一节我们学习了平行线的判定，它是由同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补来判定两条直线是平行线。

这一节要学习的平行线的性质和平行线的判定正好相反，它是已知两条直线平行，再以此为基础，推出图形具有某种性质。

平行线有下面的性质：

\begin{xingzhi}
    两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
\end{xingzhi}

这句话简单说成\begin{xingzhi}%
    两直线平行，同位角相等。
\end{xingzhi}

如图 \ref{fig:czjh1-2-19} ， 如果 $AB \pingxing CD$， 那么， $\angle 1 = \angle 2$， 这是因为，
假如 $\angle 1 \neq \angle 2$，我们就可以经过点 $O$ 画一条直线 $A'B'$， 使 $\angle EOB' = \angle 2$。
根据同位角相等，两直线平行，可得 $A'B' \pingxing CD$。这样，经过点 $O$ 就有两条直线 $AB$、$A'B'$ 都与 $CD$ 平行。
这与平行公理不相符合。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-19}
        \caption{}\label{fig:czjh1-2-19}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-20}
        \caption{}\label{fig:czjh1-2-20}
    \end{minipage}
\end{figure}



根据平行线的这个性质，从两直线平行可以推出同位角相等，在 \ref{subsec:czjh1-2-3} 节的\hyperref[liti:czjh1-2-3]{例题}里，我们曾由同位角相等推出了内错角相等。
把这两条结合起来，可以写出如下推理：如图 \ref{fig:czjh1-2-20}，

$\because$ \quad $a \pingxing b$（已知）

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 2$（两直线平行，同位角相等）。

又 $\because$ \quad $\angle 1 = \angle 3$（对顶角相等）。

$\therefore$ \quad $\angle 3 = \angle 2$ （等量代换）。

由此，我们得到平行线的另一个性质：

\begin{xingzhi}
    两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
\end{xingzhi}

这句话可以简单说成：\begin{xingzhi}
    两直线平行，内错角相等。
\end{xingzhi}

$\because$ \quad $a \pingxing b$ （已知），

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 2$ （两直线平行，同位角相等）。

$\because$ \quad $c$ 是直线，

$\therefore$ \quad $\angle 1 + \angle 4 = 180^\circ$（邻补角定义）。

$\therefore$ \quad $\angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$（等量代换）。

由此，我们得到平行线的又一个性质：

\begin{xingzhi}
    两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
\end{xingzhi}

这句话可以简单说成：\begin{xingzhi}
    两直线平行，同旁内角互补。
\end{xingzhi}

下面，我们来看图 \ref{fig:czjh1-2-21}， 其中 $CD \pingxing OB$、 $EF \pingxing OA$。
我们利用平行线的性质来研究 $\angle 1$ 与 $\angle O$ 有什么关系。

$\because$ \quad $CD \pingxing OB$ （已知），

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 2$ （两直线平行，内错角相等）；

$\because$ \quad $EF \pingxing OA$ （已知），

$\therefore$ \quad $\angle O = \angle 2$ （两直线平行，同位角相等）；

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle O$ （等量代换）。

由此，我们得到了两边分别平行的两个角 $\angle 1 = \angle O$。


\begin{wrapfigure}[8]{r}{6cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch2-21}
    \caption{}\label{fig:czjh1-2-21}
\end{wrapfigure}

在图 \ref{fig:czjh1-2-21} 中， 除了 $\angle 1$ 与 $\angle O$ 的两边分别平行以外，
$\angle 3$、$\angle 4$、$\angle 5$ 的两边也是与 $\angle O$ 的两边分别平行的。
我们再来研究它们与 $\angle O$ 有什么关系。


$\because$ \quad $\angle 1 = \angle O$ （已证），

又 $\because$ \quad $\angle 4 = \angle 1$ （对顶角相等），

$\therefore$ \quad $\angle 4 = \angle O$（等量代换）。

又 $\because$ \quad \begin{zmtblr}[t]{}
    $\angle 3 + \angle 1 = 180^\circ$， \\
    $\angle 5 + \angle 1 = 180^\circ$ （邻补角定义）， \\
\end{zmtblr}

$\therefore$ \quad \begin{zmtblr}[t]{}
    $\angle 3 + \angle O = 180^\circ$， \\
    $\angle 5 + \angle O = 180^\circ$ (等量代换）。
\end{zmtblr}

$\angle 1$、$\angle 3$、$\angle 4$、$\angle 5$ 的两边都分别与 $\angle O$ 的两边行，
但其中 $\angle 1$、$\angle 4$ 与 $\angle O$ 相等， $\angle 3$、$\angle 5$ 与 $\angle O$ 互补。
由此我们得到如下的性质：

\begin{xingzhi}
    如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
\end{xingzhi}


\begin{lianxi}

口答下列各题：

\xiaoti{如图，一条公路，两次拐弯后，和原来的方向平行。第一次拐的角 $\angle B$ 是 $142^\circ$，
    第二次拐的角 $\angle C$ 是多少度？为什么？
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-subsec7-lx-1}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-subsec7-lx-2}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-subsec7-lx-3}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\xiaoti{如图，已知平行线，$AB$、$CD$ 被直线所截。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{从 $\angle 1 = 110^\circ$，可以知道 $\angle 2$ 是多少度？为什么？}

    \xxt{从 $\angle 1 = 110^\circ$，可以知道 $\angle 3$ 是多少度？为什么？}

    \xxt{从 $\angle 1 = 110^\circ$，可以知道 $\angle 4$ 是多少度？为什么？}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知 $D$ 是 $AB$ 上一点， $E$ 是 $AC$ 上一点。 $\angle ADE = 60^\circ$。
    $\angle B = 60^\circ$， $\angle AED = 40^\circ$
}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$DE$ 和 $BC$ 平行吗？为什么？}
    \xxt{$\angle C$ 是多少度？为什么？}
\end{xiaoxiaotis}

\end{lianxi}
